Método da Quadratura Gaussiana
Integração Numérica
Método da Quadratura Gaussiana
É um método numérico utilizado para aproximar integrais definidas. A ideia consiste em substituir a integral por uma soma ponderada de valores da função avaliados em pontos especiais do intervalo de integração. Esses pontos, chamados de nós ou pontos de Gauss, são escolhidos de forma a maximizar a precisão da aproximação com o menor número possível de avaliações da função.
Fórmula da Quadratura Gaussiana
Para uma integral no intervalo padrão \([-1,1]\), a aproximação é dada por: \[ \int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\,f(x_i) \] onde \(x_i\) são os pontos de Gauss e \(w_i\) são os respectivos pesos associados a cada ponto.
Mudança de intervalo
Quando a integral está definida em um intervalo qualquer \([a,b]\), utiliza-se a transformação: \[ x=\frac{b-a}{2}\,t+\frac{a+b}{2} \] de modo que: \[ \int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} f\left( \frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2} \right)dt \] permitindo a aplicação da quadratura gaussiana padrão.
Precisão do método
Uma quadratura gaussiana com \(n\) pontos integra exatamente todos os polinômios de grau menor ou igual a: \[ 2n-1 \] Por isso, o método é considerado um dos mais eficientes para integração numérica.
Tabela de pontos e pesos
Geralmente o método é apresentado por meio de tabelas contendo os pontos de Gauss \(x_i\) e os respectivos pesos \(w_i\). Alguns valores frequentemente utilizados são apresentados a seguir:
Por exemplo, para \(n=2\), os pontos e pesos são: \[ x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \qquad x_2=\frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ w_1=w_2=1 \]
Assim, a integral é aproximada por: \[ \int_{-1}^{1}f(x)\,dx \approx f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \]
Atenção: Os pontos de Gauss não são igualmente espaçados. Eles são escolhidos de forma a maximizar a precisão da aproximação.
Lembre-se: Antes de aplicar o método em um intervalo diferente de \([-1,1]\), é necessário realizar a mudança de variável correspondente.
Esse método fornece excelentes aproximações para integrais definidas utilizando poucos pontos de avaliação da função.